Lineare Algebra I – Übungsblatt 02
Wintersemester 2024/25
Aufgabe 1.
Sei G eine Menge mit zwei Elementen. Beweisen Sie, dass G genau zwei Gruppenstrukturen zulässt.
Hinweis: Beweisen Sie, dass die Wahl des neutralen Elements die Gruppenstruktur bestimmt.
Aufgabe 2.
Sei (G, ·) eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Wir definieren eine Relation
Beweisen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist genau dann, wenn H ≠ ∅ und das Folgende gilt:
Hinweis: Beweisen Sie zuerst, dass
Aufgabe 3.
1. Für n ∈ N definieren wir eine Relation Rn = {(x, y) ∈ Z × Z | n dividiert x − y}.
Beweisen Sie, dass Rn eine Äquivalenzrelation auf Z ist.
2. Für x ∈ Z bezeichne das Bild von x unter der kanonischen Projektion Z → Z/Rn.
Beweisen Sie, dass
Aufgabe 4.
Geben Sie eine Bijektion zwischen N × N und N an.
Hinweis: Verwenden Sie, dass jede natürliche Zahl (ungleich 0) ein Produkt aus einer ungeraden Zahl und einer Zweierpotenz ist.